Für eine diagrammatische Darstellung der besonders wichtigen algebraischen Strukturen Halbgruppe, Gruppe, Ring, Schiefkörper, Körper und Vektorraum siehe Bildliche Hierarchie algebraischer Strukturen.

Die fundamentalen algebraischen Strukturen besitzen ein oder zwei zweistellige innere Verknüpfungen. Die Taxonomie dieser Strukturen richtet sich danach, welche der folgenden Gruppenaxiome in der Menge M bezüglich der Verknüpfung ◊ gelten:

(E) Existenz und Eindeutigkeit: Für alle a, b aus M gilt: a◊b ist definiert und ist Element von M.

(A) Assoziativgesetz: Für a, b, c aus M gilt: (a◊b)◊c = a◊(b◊c).

(N) Existenz eines neutralen Elements: M enthält ein e, mit dem für alle a aus M gilt: a◊e = e◊a = a.

(I) Existenz des inversen Elements: Zu jedem a aus M gibt es ein a⁻¹ aus M, mit dem gilt: a◊a⁻¹ = a⁻¹◊a = e.

(K) Kommutativgesetz: Für a, b aus M gilt: a◊b = b◊a.

Die folgenden Strukturen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung verallgemeinern oder spezialisieren den fundamentalen Begriff der Gruppe:

• Gruppoid: Axiom E: Eine Menge mit zweistelliger innerer Verknüpfung.

• Halbgruppe: Axiome EA: Ein Gruppoid mit Assoziativgesetz. Beispiel: (N\{0},+).

• Monoid: Axiome EAN: Eine Halbgruppe mit einem neutralen Element e. Beispiel: (N,+) mit e=0.

• Gruppe: Axiome EANI: Ein Monoid, im es zu jedem Element ein Inverses gibt. Gruppen wurden Anfang des 19. Jahrhunderts zur Beschreibung von Symmetrien eingeführt und haben sich als fundamental für den gesamten Aufbau der Algebra erwiesen. Beispiele für Zahlbereiche, die eine Gruppe bilden: (Z,+), (Q\{0},·). Beispiele für Transformationsgruppen, die Symmetrien beschreiben: die Punktgruppen zur Beschreibung von Molekülsymmetrien, die symmetrischen Gruppen zur Beschreibung von Permutationen, die Lie-Gruppen zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien. Siehe auch Gruppentheorie, Gruppentheorie-Glossar.

• Abelsche Gruppe: Axiome EANIK: Eine Gruppe mit kommutativer Verknüpfung.

Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen, die gewöhnlich als Addition und Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von den Zahlbereichen (wie Z, Q, R) abstrahiert, mit denen man gewöhnlich rechnet. Die Verträglichkeit der additiven und der multiplikativen Verknüpfung wird durch folgende Axiome sichergestellt:

(I^*) Existenz des inversen Elements bezüglich der multiplikativen Verknüpfung, mit Ausnahme des neutralen Elements der additiven Verknüpfung. Formal: Zu jedem a aus M\{0} gibt es ein a⁻¹ aus M, mit dem gilt: a·a⁻¹ = a⁻¹·a = e.

(Dl) Links-Distributivgesetz: Für a, b, c aus M gilt: a·(b+c)=a·b + a·c.

(Dr) Rechts-Distributivgesetz: Für a, b, c aus M gilt: (a+b)·c=a·c + b·c.

(D) Distributivgesetz: es gilt Dl und Dr.

(T) Nullteilerfreiheit: Wenn 0 das neutrale Element der additiven Verknüpfung genannt, dann folgt für alle a, b aus M aus a·b=0, dass a=0 oder b=0.

(U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation, 0 und 1, sind nicht gleich.

Die jeweils gültigen Axiome sind in dem folgenden in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative Axiome | Verträglichkeitsaxiome) gekennzeichnet.

• Ring: Axiome (EANIK|EA|D): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe.

• Kommutativer Ring: Axiome (EANIK|EAK|D): Ring mit kommutativer Multiplikation.

• Ring mit 1 oder unitärer Ring: Axiome (EANIK|EAN|D): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.

• Nullteilerfreier Ring: Axiome (EANIK|EA|DT): Ring, im aus a·b=0 folgt, dass a=0 oder b=0.

• Integritätsbereich: Axiome (EANIK|EANK|DTU): Kommutativer, unitärer, nullteilerfreier Ring mit 1≠0.

• Schiefkörper: Axiome (EANIK|EANI^*|DTU): Unitärer, nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0.

• Körper: Axiome (EANIK|EANI^*K|DTU): Kommutativer Schiefkörper, Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0. - Jeder Körper ist auch ein Vektorraum (mit sich selbst als zugrunde liegendem Skalarkörper). Wenn man im Körper eine Norm oder ein Skalarprodukt definiert, erhält ein Körper dadurch die topologischen Merkmalen eines normierten Raums oder eines Innenproduktraums. Siehe dazu unten. - Beispiele: die Zahlbereiche Q, R und C.

Wichtige Teilmengen, die aber nicht abgeschlossen bezüglich der Gruppenverknüpfungen sind:

• Ideal (Ringtheorie).

Ein Verband ist eine algebraische Struktur, dessen zwei innere Verknüpfungen in dem allgemeinen Fall nicht als Addition und Multiplikation aufgefasst werden können:

(Abs) Absorptionsgesetze: a ∨ ( a ∧ b ) = a und a ∧ ( a ∨ b ) = a.

Mit diesem Axiom erhalten wir als Strukturen:

• Verband: Axiome (EAK (bezüglich ∨)|EAK (bezüglich ∧)|Abs).
• Distributiver Verband: Axiome (EAK (bezüglich ∨)|EAK (bezüglich ∧)|Abs,D).

In einem distributiven Verband muss man ca. eines der beiden Absorptionsgesetze fordern; das andere folgt dann aus dem Distributivgesetz.

Eine Boolsche Algebra ist ein Verband, im die beiden Verknüpfungen je ein neutrales Element haben, a∨0=0 und a∧1=1, und im jedes Element ein bezüglich beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat,

(Kompl) Existenz eines Komplements: zu jedem a gibt es ein ¬ a, für das gilt a∨¬a=1 und a∧¬a=0.

Beachte, das das Komplement nicht inverses Element ist, da es das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.

• Boolsche Algebra: Axiome (EAKN (bezüglich ∨)|EAKN (bezüglich ∧)|Abs,D,Kompl).
• Mengenalgebra: eine Boolsche Algebra, deren Elemente Mengen sind, nämlich Teilmengen einer Grundmenge X, mit den Verknüpfungen ∪ und ∩, mit dem Nullelement ø und dem Einselement X.
• σ-Algebra: eine bezüglich abzählbar-unendlich vielen Verknüpfungen abgeschlossene Mengenalgebra.
• Messraum und Maßraum sind spezielle σ-Algebren.
• Borel-Algebra macht einen topologischen Raum zu dem Maßraum: sie ist die kleinste σ-Algebra, die eine gegebene Topologie enthält.

• Zweiwertige Boolesche Algebra: hat ca. die Elemente 0 und 1.

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv geschriebenen Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) V und einem Zahlbereich (einer Struktur mit zwei inneren Verknüpfungen, zumeist einem Körper) K, dessen Gruppenaktion auf V als Linksmultiplikation *:K×V→V oder als Rechtsmultiplikation *:V×K→V geschrieben und (von V aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von K heißen Skalare, die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation. Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in Notation für Linksmultiplikation):

(AL) Assoziativgesetz: für a, b aus K und v aus V: ( a ^. b ) * v = a * ( b * v ).

(DL) Distributivgesetze: für a, b aus K und v, w aus V: a * ( v + w ) = a * v + a * w und ( a + b ) * v = a * v + b * v.

Damit erhalten wir folgende Strukturen in der Notation (V | K | Verträglichkeitsaxiome):

• Linksmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AL,DL).
• Rechtsmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AR,DR) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links.
• Modul: (Abelsche Gruppe | kommutativer Ring | ALR,DLR ) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.
• Vektorraum: (Abelsche Gruppe | Körper | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.

• Lie-Algebra: Vektorraum mit der Lie-Klammer als zusätzlicher antisymmetrischer bilinearen Verknüpfung, []: V×V → V.*assoziative Algebra: Vektorraum mit einer assoziativen bilinearen Verknüpfung, V×V → V.Die in dem folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere auch ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu einer topologischen Struktur.

• Ein Bilinearraum ist fast ein Innenproduktraum (siehe unten) - außer, dass das innere Produkt nicht positiv definit sein muss. Wichtiges Beispiel: der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.

• Innenproduktraum: Vektorraum mit einem Skalarprodukt (einer positiv definiten Bilinearform nach R beziehungsweise Sesquilinearform nach C), <>: V×V → K. Der Euklidische Raum Rⁿ ist ein spezieller Innenproduktraum. Mit der Norm ||x|| = √<x, x> ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum, damit auch ein metrischer Raum und besitzt darum auch eine topologische Struktur.

• unitärer Raum: ein Innenproduktraum über C, dessen Skalarprodukt eine Hermitesche Form ist, also unter Vertauschung der Argumente die Symmetrie aufweist.

• normierter Raum: Vektorraum mit einer Norm ||·||: V → K. Die Norm kann, muss aber nicht durch ein Skalarprodukt gegeben sein. Jeder normierte Raum ist auch ein metrischer Raum und besitzt darum auch eine topologische Struktur.

Siehe dazu den Übersichtsartikel Ordnungsrelation.

• Quasiordnung : reflexiv und transitiv. Beispiel: Für a, b aus C, a R b falls |a| ≤ |b| (s. Absolutbetrag).

• Teilordnung (partielle Ordnung, Halbordnung. Achtung: ab und zu einfach Ordnung genannt): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Beispiele: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge; die Relation "komponentenweise kleinergleich" auf dem Vektorraum Rⁿ.

• strenge Halbordnung: irreflexiv und transitiv. Beispiele: Die Relation "Echte Teilmenge" in einer Potenzmenge; die Relation "komponentenweise kleinergleich, aber nicht gleich" auf dem Vektorraum Rⁿ.

• totale Ordnung (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: "Kleinergleich" auf Z.

• strenge Totalordnung : total, irreflexiv und transitiv. Beispiel: "Kleiner" auf Z.

• fundierte Ordnung: eine Halbordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: Die Relation "Gleich oder Element von" in einer Menge von Mengen.

• Wohlordnung: totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: "Kleinergleich" auf N.

• Metrische Räume werden durch ihre Metrik mit einer globalen geometrischen Struktur ausgestattet, die in Merkmalen wie der Kongruenz von Figuren zu dem Ausdruck kommt.

Die verschiedenen topologischen Räume sind aus dem Bemühen hervorgegangen, von dieser globalen Struktur abzusehen und lediglich die möglichen lokalen Struktur eines Raums zu klassifizieren.

Siehe dazu einstweilen die Artikel Topologie (Mathematik), topologischer Raum, Topologie-Glossar, Trennungsaxiom.

Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche die Artikel Geometrie, Euklidische Geometrie, Euklids Elemente):

• Geordnete Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten zwei der fünf Euklidischen Postulate gelten.
• Projektive Geometrie
• Affine Geometrie
• Absolute Geometrie: Jede Geometrie, in der die ersten vier der fünf Euklidischen Postulate gelten.
• Euklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat gilt.
• Nichteuklidische Geometrie: Absolute Geometrie, in der das Parallelenpostulat nicht gilt.

Klassifikation nach den Transformationsgruppen, unter denen bestimmte geometrisches Merkmalen invariant bleiben (Felix Klein, Erlangener Programm ):

• Projektive Geometrie, Invarianten: Punkt, Gerade.
• Affine Geometrie, zusätzliche Invarianten: Parallelität, Teilverhältnis, Flächeninhaltsverhältnis.
• Ähnlichkeitsgeometrie, zusätzliche Invarianten: Streckenverhältnis, Winkel.
• Kongruenzgeometrie, zusätzliche Invariante: Streckenlänge.

Dies sind die Mengen, mit denen man gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der natürlichen Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Multiplikation. Indem man fordert, dass auch die Umkehroperationen Subtraktion und Division immer möglich sein sollen, erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. Die reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen eingeführt; sie ermöglichen das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Zahlen. Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf die komplexen Zahlen.

• Die Menge der natürlichen Zahlen N dient dem Abzählen und steht ganz am Anfang des axiomatischen Aufbaus der Mathematik. Wir verstehen in dem folgenden die 0 als in N enthalten; die entgegengesetzte Konvention ist aber auch üblich. (N,+) und (N,·) sind Monoide mit den neutralen Elementen 0 bzw. 1. Addition und Multiplikation sind, wie auch bei allen anderen Zahlbereichen, distributiv.

• Die Menge der ganzen Zahlen Z entsteht aus N, indem man negative Zahlen als Inverse bezüglich der Addition konstruiert. (Z,+) ist eine abelsche Gruppe, (Z,·) ist ein Monoid, Z ist ein Ring.

• Die Menge der nichtnegativen Brüche Q⁺ entsteht aus N, indem man Bruchzahlen als Inverse bezüglich der Multiplikation konstruiert. (Q⁺\{0},·) ist daher eine Gruppe; (Q⁺,+) ist eine Monoid.

• Die Menge der Brüche oder rationalen Zahlen Q entsteht aus Q⁺ durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Addition oder aus Z durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Multiplikation. (Q,+) und (Q\{0},·) sind abelsche Gruppen. Addition und Multiplikation sind distributiv; Q ist ein Körper.

• Die Menge der reellen Zahlen R entsteht aus Q durch topologische Vervollständigung: eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse aus Cauchy-Folgen. R ist ein Körper.

• Die Menge der komplexen Zahlen C besteht aus Paaren reeller Zahlen (a,b), die in der Schreibweise a+bi mit i²=−1 den üblichen Rechengesetzen genügen. In C ist jede algebraische Gleichung auflösbar. C ist ein Körper.

• Quaternionen, Cayley-Zahlen und darüber hinaus erweiterte Zahlbereiche sind nicht mehr kommutativ bezüglich der Multiplikation.

Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:

• Der Restklassenring Z_m, kann als Einschränkung der natürlichen Zahlen auf die Menge {0,1,...,m−1} aufgefasst werden. Alle Rechenoperationen werden modulo m ausgeführt. Z_m ist ein Ring; wenn m eine Primzahl ist, sogar ein Körper. In maschinennahen Programmiersprachen werden vorzeichenlose ganze Zahlen als Restklassenringe z.B. mit m=2¹⁶ oder 2³² dargestellt.